iは変数ではないのに、なぜ次元が増えるのか？複素数を「方向」から考える

次元について考えていると、ふと複素数が気になりました。

実数は数直線上に並んでいるので、1次元です。

ところが、$$i^2=-1$$

となる i を使って複素数を考えると、「複素平面」という2次元の世界が現れます。

ここで不思議なのが、i は変数ではないということです。

変数が増えたわけではないのに、なぜ1次元だった数直線が2次元の複素平面になるのでしょうか。

実数は1つの数で位置を指定できる

実数 $a$ は、1つの数で数直線上の位置を決めることができます。

たとえば、$$a=2$$

なら、数直線上の「2」の位置です。

つまり、$$a$$

という1つの値が決まれば、位置も決まります。

実数を数直線上の点として考えれば、必要な座標は1つです。

複素数は2つの実数で位置を指定する

ところが複素数は、$$z=a+bi$$

と表します。

たとえば、$$z=2+3i$$

なら、複素平面上では、

• 実数方向に $2$
• 虚数方向に $3$

進んだ位置として表すことができます。

つまり、1つの複素数を表すために、$$(a,b)$$

という2つの実数が必要になります。

実数では、$$a$$

という1つの座標で位置を指定できたものが、複素数では、$$(a,b)$$

という2つの座標で位置を指定するようになります。

だから数直線ではなく、平面として表せるわけです。

けど、i は変数ではない

ここが面白いところです。

複素数は、$$a+bi$$

と書きますが、i が自由に変化しているわけではありません。

i は、$$i^2=-1$$

を満たす決まった数です。

変化するのは、$$a,\quad b$$

のほうです。

では、i は何をしているのでしょうか。

複素平面では、i を実数方向とは異なる方向として捉えることができます。

実数だけなら、数直線上の位置を1つの座標で表すことができます。

ところが複素数では、$$a+bi$$

と表すことで、

• 実数方向
• 虚数方向

という2つの独立した座標軸を使って位置を表せるようになります。

i 自体が変数として動くわけではありません。

i という実数とは異なる方向があることで、その方向にどれだけ進むのかを表す b という座標が必要になる

と考えると分かりやすくなります。

i の累乗を見ると「回転」が見えてくる

i の累乗を並べてみます。$$i^0=1$$$$i^1=i$$$$i^2=-1$$$$i^3=-i$$$$i^4=1$$

つまり、$$1\rightarrow i\rightarrow-1\rightarrow-i\rightarrow1$$

と繰り返します。

複素平面上では、$$\text{右} \rightarrow \text{上} \rightarrow \text{左} \rightarrow \text{下} \rightarrow \text{右}$$

と移っていきます。

これは、複素数に i を掛ける操作が90度の回転に対応しているためです。

すると、$$i^2=-1$$

も少し違って見えてきます。

$1$ に i を1回掛けると、$$1\rightarrow i$$

さらにもう1回掛けると、$$i\rightarrow-1$$

となります。

つまり、90度の回転を2回行うと180度の回転になる。

その関係が、$$i^2=-1$$

として表れていると見ることができます。

次元とは「変数の数」だけではない

ここまで考えると、次元について少し違った見方ができます。

次元というと、

変数が何個あるか

と考えると分かりやすい場合があります。

しかし、より根本では、

位置を指定するために、独立した座標がいくつ必要なのか

と考えることもできます。

実数なら、数直線上の位置を、$$a$$

という1つの座標で指定できます。

複素数なら、複素平面上の位置を、$$(a,b)$$

という2つの座標で指定します。

この2つの座標は、

• 実数方向の座標
• 虚数方向の座標

に対応します。

ここでいう「方向」とは、右・左や上・下という向きの数ではなく、互いに独立した座標軸という意味です。

だから、$$a$$

という1つの座標だったものが、$$(a,b)$$

という2つの座標になる。

そして、数直線だったものが複素平面になります。

まとめ

i は変数ではありません。

それなのに、実数から複素数へ広げると、$$a$$

という1つの実数で表せていたものが、$$a+bi$$

となり、$$(a,b)$$

という2つの実数で表されるようになります。

これは、i 自体が変化するからではありません。

複素平面では、i を実数方向とは異なる方向として捉えることができ、その方向の位置を表すために b という座標が必要になるからです。

実数では数直線だったものが、複素数では複素平面になる。

さらに、$$1\rightarrow i\rightarrow-1\rightarrow-i\rightarrow1$$

という i の累乗を見ると、複素数に i を掛ける操作が90度の回転として表せることも分かります。

次元を決めているのは、単純に変数の数ではない。

その世界で位置を指定するために、独立した座標がいくつ必要なのか。

そう考えると、「i は変数ではないのに、なぜ次元が増えたように見えるのか？」という不思議も、少し見えやすくなるのではないでしょうか。

※厳密には、ここでいう「複素数は2次元」という表現は、複素数を実数を基準にして見た場合の話です。