完全運動とは何か──球が教えてくれる三つの循環【試作】

はじめに

球が膨張したり収縮したりする運動を考えるとき、私たちは無意識のうちに「半径」を変化させてしまう。

しかし、よく考えてみると、球には半径以外にも基準となる量が存在する。

・半径
・表面積
・体積

もし世界に「完全運動」と呼べるような自然な循環があるとしたら、いったい何を基準に変化しているのだろうか。

この記事では、その疑問を確かめるために、Three.jsを使って三種類の球のアニメーションを作成し、比較してみた。

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球には三つの基準がある

球は半径 (r) が決まれば、その大きさは一意に決まる。

今回比較する三つの基準は、すべて球に関する量である。

半径

$$
r
$$

球の表面積

$$
S = 4\pi r^2
$$

球の体積

$$
V = \frac{4}{3}\pi r^3
$$

ここで興味深いのは、半径に掛かる指数である。

基準	半径との関係
半径	(r^1)
球の表面積	(r^2)
球の体積	(r^3)

つまり、

・半径は一次元の量
・球の表面積は二次元の量
・球の体積は三次元の量

として表される。

これは、それぞれが球の長さ・境界・内部という異なる性質を表しているとも考えられる。

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三つの完全運動

球を最小半径から最大半径まで往復させる方法は一つではない。

例えば、次の三つの方法が考えられる。

・半径を正弦波で循環させる
・表面積を正弦波で循環させる
・体積を正弦波で循環させる

どれも最終的には、同じ最小球と最大球を往復する。

違うのは、

何を一定のリズムで循環させているか

という点だけである。

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実際に比較してみる

下のアニメーションは、左から順に、

・半径基準
・表面積基準
・体積基準

で球を膨張・収縮させたものである。