はじめに

「虚数」と聞くと、存在しない数のように思えるかもしれません。

しかし、現代数学や物理学では、虚数は波や電気、量子力学などを記述するための重要な道具として使われています。

その虚数を実数と組み合わせて表した世界が複素平面です。

複素平面では、数は一直線ではなく二次元の平面に配置されます。

そして、この平面では「回転」という概念を自然に表現できるようになります。

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複素平面とは

複素数は$$a+bi$$

という形で表されます。

• a は実数部分（実部）
• b は虚数部分（虚部）

です。

複素平面では、

• 横軸が実数軸（Re）
• 縦軸が虚数軸（Im）

になります。

（図1：複素平面）

すると複素数は

「数」

ではなく

「平面上の一点」

として表現できます。

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数が回転する世界

複素平面の面白いところは、

数を回転として表現できることです。

その代表的な式がオイラーの公式です。$$e^{i\theta} = \cos\theta+i\sin\theta$$

この式では、

θが変化すると点は複素平面上を円運動します。

（図2：単位円と回転）

例えば

• θ=0 では 1
• θ=π/2 では i
• θ=π では -1
• θ=3π/2 では -i

となり、

さらに回転すると再び1へ戻ります。

つまり複素平面では、

数を「位置」だけでなく「回転」としても扱えるのです。

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複素数で方程式を見る

複素平面の考え方は、

方程式の解にも現れます。

例えば$$y=x^2+1$$

という式を考えてみます。

実数だけでは$$x^2+1=0$$

を満たす値はありません。

しかし、

複素数まで広げると$$x=\pm i$$

という解が現れます。

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複素数グラフで見る虚数解

次の図は、

$x=a+bi$

としたときの$$y=\mathrm{Re}(x^2+1)$$

を3次元で描いたものです。