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数学における「虚数解（imaginary solution）」とは、 実数の範囲では存在しないように見える解のことです。 たとえば、次のような方程式を考えたとき： \[ x^2 + 1 = 0 \] どんな実数を代入しても、この式は成り立ちません。 なぜなら、どんな数を二乗し...

Σと∫の違い：二つの「足し算」が描く、離散と連続の世界 物理や数学の式でよく登場する Σ（シグマ）と ∫（インテグラル）。どちらも「足し算」を意味する記号ですが、なぜ二つもあるのか？　どう使い分けるのか？　本稿では、これらが表す「離散」と「連続...

指数関数とは何か：自己を増やす方程式 「指数関数的に増える」という言葉は、科学・経済・AIの分野で頻繁に登場する。だが、それは単なる「急激な増加」ではない。指数関数とは、自分自身をもとにして増えていくという、きわめて根源的な構造を表している...

次元と位相：見えない秩序を探る思考の旅 私たちは「三次元の世界に生きている」とよく言われる。しかし、「次元」とは本当に何を意味しているのだろうか。さらに、「位相（トポロジー）」という言葉を聞くと、数学的で難解な印象を受ける人も多いだろう。...

はじめに：内積という「見えない角度」 私たちは日常的に「方向」や「力の向き」といった概念を直感的に扱っています。しかし、それらを数学的に正確に表すにはどうすればよいでしょうか。その鍵を握るのが「内積（dot product）」です。内積は、一見する...

導入：公式は世界を読み解く言葉 数学の公式とは、自然や社会の背後にある「秩序」を最短の形で表した言葉です。数式を覚えることは、世界の構造を理解することにほかなりません。以下では、分野ごとに主要な公式をまとめ、その意味を簡潔に紹介します。 Ⅰ...

はじめに：漸化式と数学的帰納法のつながり 数学の世界には、「前の状態から次を導く」という考え方がいくつも存在します。その代表例が「漸化式（ぜんかしき）」と「数学的帰納法」です。どちらも一見別の分野のように見えますが、実は非常に深く結びつい...

はじめに：変化の中にある「規則」を探る 私たちが日常で感じる「変化」には、意外と規則性が隠れています。貯金額の増え方、階段を上るときの段数、ウイルスの感染者数の推移──これらはいずれも、前の状態から次の状態が決まる「漸化式（ぜんかしき）」で...

導入：離散と連続のあいだにあるもの 数列がどのように変化していくかを記述する「漸化式」と、連続的な変化を扱う「微分」。これらは一見、まったく異なる世界の言語のように思えるかもしれません。しかし、両者の間には深く静かなつながりがあります。漸...

確率・統計学の歴史：偶然を読み解く人間の知 私たちは日常のあらゆる場面で「確率」という言葉に出会う。天気予報の降水確率、宝くじの当選確率、AIが出す予測の信頼度──。それらはすべて、不確実な未来を数値として扱う試みであり、人間が「偶然」とどう...