導入──微分と積分は「変化」をどう扱うかの違いだけ
微分と積分は、複雑な記号によって難しく見えるが、その奥にある仕組みは驚くほど単純だ。 扱っているのは「変化」と「極限」というたった二つの考え方である。
積分は、極小に分けた変化量（Δy）をすべて足し合わせる操作。 微分は、その区間での極限の変化率（Δy/Δx）を取り出す操作。 この二つの視点だけで、微積分の核心は十分に説明できる。
積分──変化量 Δy の足し合わせから始まる
ある量が全体としてどれだけ変化したかを知るために、まず区間を細かく分ける。 それぞれの区間で生じる増加量を並べると、次のような足し算になる。
\[ \Delta y_1 + \Delta y_2 + \Delta y_3 \]
これが積分の出発点である。 そして重要なのは、各区間での変化量 Δy が必ず「変化率 × 区間の幅」として表せることだ。
\[ \Delta y_1 + \Delta y_2 + \Delta y_3 = (\Delta y_1/\Delta x)\cdot\Delta x + (\Delta y_2/\Delta x)\cdot\Delta x + (\Delta y_3/\Delta x)\cdot\Delta x \]
区間を極限まで細かくしていくと、これらは連続的な変化としてまとまり、全体の変化量となる。 積分の本質は、まさにこの「極限の変化量 Δy の足し算」にある。
積分とは、極小の変化量（Δy）を集めて積み重ねる操作である。
微分──極限での変化率 Δy/Δx を取り出す
一方、微分は足し合わせではなく、一つの区間に注目する。 その区間で「どれだけ変化しやすいか」を表すのが変化率である。
\[ \frac{\Delta y}{\Delta x} \]
Δx を小さくしていくにつれ、この比は一点における値へと近づいていく。 この極限で得られる量こそが微分である。
微分とは、極限における変化率（Δy/Δx）を取り出す操作である。
積分の材料となる「変化率」を抽出する、静かな測定のような役割を果たしている。
両者の関係──素材を取り出すか、積み重ねるか
ここまで見てくると、微分と積分は対立する概念ではなく、ただ扱う対象の違いでしかないことが分かる。
- 微分：極限の変化率（Δy/Δx）を取り出す
- 積分：極限の変化量（Δy）を足し合わせる
どちらも Δy と Δx の関係を極限まで見つめたときに自然に現れる構造であり、そこに複雑さはない。
まとめ──微積分は「極限で変化を見る」だけのシンプルな世界
微分は、極限での変化率を求める。 積分は、極限での変化量を足し合わせる。 どちらも、変化をどう捉えるかという一点から生まれた視点にすぎない。
\[ \text{微分：極限の変化率 }\frac{\Delta y}{\Delta x} \]
\[ \text{積分：極限の変化量 }\Delta y \text{ の足し算} \]
記号を取り払うと、微積分はとても穏やかで、驚くほど透明な構造を持っている。 すべては、変化と極限という二つの静かなアイデアへと還っていく。
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